Relasi dan Fungsi

• Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara pegai dengan gajinya, dan lain-lain. Pada bab ini, akan dibahas tentang hubungan antara dua himpunan tak kosong dengan suatu aturan pengkaitan tertentu. Pembahasan tersebut meliputi definisi relasi dan fungsi, operasi beserta sifat-sifatnya.

Definisi Relasi dan Cara Penyajian

• Cartesian product, yaitu berupa pasangan terurut yang menyatakan hubungan dari dua himpunan. Semua pasangan terurut yang mungkin merupakan anggota dari himpunan hasil Cartesian product dua buah himpunan. Sebagian dari anggota himpunan tersebut mempunyai hubungan yang khusus (tertentu) antara dua unsur pada pasangan urut tersebut, dengan aturan tertentu. Aturan yang menghubungkan antara dua himpunan dinamakan relasi biner. Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B).
• Notasi dari suatu relasi biner adalah a R b atau (a, b) ∈ R. Ini berarti bahwa a dihubungankan dengan b oleh R. Untuk menyataan bahwa suatu unsur dalam cartesian product bukan merupakan unsur relasi adalah a R b atau (a, b) ∉ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

 

• Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
Jawab :
Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, cartesian product A × B adalah :
A × B = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 9), (2, 15), (3, 2), (3, 4), (3, 8),
(3, 9), (3, 15), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 9), (4, 15)}
Dengan menggunakan definisi relasi diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan tersebut adalah :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15) }
Relasi dapat pula terjadi hanya pada sebuah himpunan, yaitu relasi pada A.. Relasi pada himpunan A merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × A.

Contoh Soal Matematika Ekonomi

1. Pabrik rokok “TingTangTung” menghasilkan 1.000.000 bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan 1.600.000 pada tahun ketujuh.

a.       Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun?

b.      Berpa produksinya pada tahun ke-11?

c.       Pada tahun ke berapakah produksinya 2.500.000 bungkus rokok?

d.      Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke-16?

2.      Pabrik Kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merk lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.

a.       Berapa botol penurunan produksinya per tahun?

b.      Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)?

c.       Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya?

Penyelesaian:

1. Diketahui :

Produksi tahun pertama = U₁ = a = 1.000.000 bks

U₇        = 1.600.000 bks

Ditanya :

a)         Pertambahan produksinya per tahun = b = …?

b)        U₁₁            = …?

c)         n   = …? ; Un       = 2.500.000

d)        Total Produksi sampai tahun ke-16 (S₁₆) = …?

Penyelesaian :

a)      Un            = a + (n-1) b

U₇                      = 1.000.000 + (7-1) b

1.600.000   = 1.000.000 + 6b

            6b        = 1.600.000 – 1.000.000

            6b        = 600.000

              b        = 600.000 : 6

              b        = 100.000

ð   Tambahan produksi Pabrik Rokok “Kurang Garam” (b) = 100.000 bks/tahun

b)      U₁₁            = a + (n-1) b

                               = 1.000.000 + (11-1) 100.000

                               = 1000.000 + (10) 100.000

                               = 2.000.000

ð  Produksi pada tahun ke-11 adalah 2.000.000 bks rokok

c)      n   = …? ; Un = 2.500.000

      Un                               = a + (n-1) b

2.500.000                    = 1.000.000 + (n-1) 100.000

2.500.000 – 1.000.000= (n-1) 100.000

         1.500.000 : 1400.000     = (n-1)

                                                15        = n – 1

                                                n          = 16

ð  Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan 2.500.000 bks rokok pada tahun ke-16

d)     S_{16                =} …?

S_{n                   = n/2}(2a + (n-1) b)

                        =  16/2[2.(1000.000) + (16-1). 100.000]

                        = 8 [2.000.000 + (15). 100.000]

                        = 8 [2.000.000 + 1..500.000]

                        = 8 [3.500.000]

                        = 28.000.000

ð  Jumlah total produksi pabrik rokok “TingTangTung” selama 16 tahun operasi sebanyak 28.000.000 bks.

2. Diketahui :

U₆        = 24.000

U₁₀         = 18.000

Ditanya :

a)    Berapa botol penurunan produksinya per tahun?

b)   Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)?

c)    Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya?

Penyelesaian :

a)    b = …?

U₆                   = a + (6 – 1) b                                      U₁₀         = a + (10 – 1) b

24.000         = a + 5b ………………(1)                 18.000     = a + 9b ……… (2)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

a + 5b          = 24.000

a + 9b          = 18.000   –

                        -4b       = 6.000                        ó        a + 5 (-1.500)  = 24.000

                           b       = -1.500                                                        a       = 24.000 + 7.500

                                                                                                               a       = 31.500

ð  Penurunan produksi pabrik kecap “Nambewan” sebesar 1500 btl per tahun

b)   Un   = 0       ; n = …?

Un                           = a + (n-1)b

0                              = 31.500 + (n-1) (-1.500)

– 31.500                  = -1.500 n + 1.500

-31.500 – 1.500      = -1.500 n

                             n        = -33.000 : -1.500

                             n        = 22

ð  Pabrik kecap “Nambewan” tidak berproduksi (tutup) pada tahun ke-22

c)    S₂₂   = …?

        S_{22        = n/2} (2a + (n-1) b)

                        = 22/2 [2.(31.500) + (22-1). (-1.500)]

                        = 11 [63.000 + (21). (-1.500)]

                        = 11 [63.000 – 31.500]

                        = 11 [31.500]

                        = 346.500

ð  Selama beroperasi (22 tahun), pabrik kecap “Nambewan” memproduksi kecap sebanyak 346.500 botol.

Pengertian Pembelajaran Matematika Realistik

            Pembelajaran matematika realistik (PMR) adalah sebuah pendekatan belajar matematika yang dikembangkan sejak tahun 1971 oleh sekelompok ahli matematika dari Freudenthal Institute, Utrecht University di Negeri Belanda. Pendekatan ini didasarkan pada anggapan Hans Freudenthal (1905 – 1990) bahwa matematika adalah kegiatan manusia. Menurut pendekatan ini, kelas matematika bukan tempat memindahkan matematika dari guru kepada siswa, melainkan tempat siswa menemukan kembali ide dan konsep matematika melalui eksplorasi masalah-masalah nyata. Karena itu, siswa tidak Dipandang sebagai penerima pasif, tetapi harus diberi kesempatan untuk menemukan kembali ide dan konsep matematika di bawah bimbingan guru. Proses penemuan kembali ini dikembangkan melalui penjelajahan berbagai persoalan dunia nyata. Di sini dunia nyata diartikan sebagai segala sesuatu yang berada di luar matematika, seperti kehidupan sehari-hari, lingkungan sekitar, bahkan mata pelajaran lain pun dapat dianggap sebagai dunia nyata. Dunia nyata digunakan sebagai titik awal pembelajaran matematika. Untuk menekankan bahwa proses lebih penting daripada hasil, dalam pendekatan matematika realistik digunakan istilah matematisasi, yaitu prosesmematematikakan dunia nyata (Sudharta, 2004).

            Zulkardi (2001), mendefinisikan pembelajaran matematika realistik sebagai berikut: PMR adalah teori pembelajaran yang bertitik tolak dari hal-hal ’real’ bagi siswa, menekankan ketrampilan ’process of doing mathematics’, berdiskusi dan berkolaborasi, berargumentasi dengan teman sekelas sehingga mereka dapat menemukan sendiri (’student inventing’ sebagai kebalikan dari’teacher telling’) dan pada akhirnya menggunakann matematika itu untuk menyelesaikan masalah baik individual maupun kelompok.

            PMR berdasarkan ide bahwa mathematics as human activity danmathematics must be connected to reality, sehingga pembelajaran matematika diharapkan bertolak dari masalah-masalah kontekstual. Teori ini telah diadopsi dan diadaptasi oleh banyak negara maju seperti Inggris, Jerman, Denmark, Spanyol, Portugal, Afrika Selatan, Brazil, USA dan Jepang. Salah satu hasil positif yang dipcapai oleh Belanda dan negara-negara tersebut bahwa prestasi siswa meningkat, baik secara nasional maupun internasional.

            Dua pandangan penting Freudenthal (dalam Hartono) tentang PMR adalah:

a.       Mathematics as human activity, sehingga siswa harus diberi kesempatan untuk belajar melakukan aktivitas matematisasi pada semua topik dalam matematika,dan

b.      Mathematics must be connected to reality, sehingga matematika harus dekat terhadap siswa dan harus dikaitkan dengan situasi kehidupan sehari-hari.

            Konsep PMR sejalan dengan kebutuhan untuk memperbaiki pendidikan matematika di Indonesia yang didominasi oleh persoalan bagaimana meningkatkan pemahaman siswa tentang matematika dan mengembangkan daya nalar. PMR mempunyai konsepsi tentang siswa sebagai berikut : siswa memiliki seperangkat konsep laternatif tentang ide-ide matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya; siswa memperoleh pengetahuan baru dengan membentuk pengetahuan itu untuk dirinya sendiri; pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang meliputi penambahan, kreasi, modifikasi,penghalusan, penyusunan kembali, dan penolakan; pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman; setiap siswa tanpa memandang ras, budaya dan jenis kelamin mampu memahami dan mengerjakan matematika. Konsepsi tentang guru sebagai berikut: guru hanya sebagai fasilitator belajar; guru harus mampu membangun pengajaran yang interaktif; guru harus memberikan kesempatan kepada siswa untuk secara aktif menyumbang pada proses belajar dirinya, dan secara aktif membantu siswa dalam menafsirkan persoalan riil; dan guru tidak terpancang pada materi yang termaktub dalam kurikulum, melainkan aktif mengaitkan kurikulum dengan dunia-riil, baik fisik maupun sosial (Hartono).

Pengertian Matematika Ekonomi

• Matematika ekonomi merupakan cabang ilmu ekonomi yang tidak berbeda dengan keuangan negara atau perdagangan internasional. Matematika ekonomi digunakan untuk pendekatan dalam analisa ekonomi dengan menggunakan simbol-simbol matematis yang dinyatakan dalam suatu permasalahan ekonomi. Matematika ekonomi ini dapat digunakan dalam teori ekonomi makro atau mikro, keuangan negara, ekonomi perkotaan dan sebagainya.

 

• Matematika ekonomi merupakan ilmu yang digunakan sebagai pendekatan dalam mempelajari analisis ekonomi. Ahli ekonomi menggunakan simbol-simbol matematis untuk menyatakan permasalahan ekonomi serta menggunakan dalil-dalil matematis untuk membantu pembahasan masalah tersebut. Matematika ekonomi digunakan dalam berbagai ilmu lain seperti, ekonomi mikro, ekonomi makro, metode kuantitatif, ekonomi keuangan, serta ilmu-ilmu lain yang membutuhkan alat analisis dalam pendekatannya

• Penerapan matematika untuk ekonomi dan bisnis akan memberikan manfaat yang sangat besar di dalam kehidupan terutama dalam penyelesaian masalah-masalah ekonomi baik untuk lingkup ekonomi mikro maupun untuk lingkup ekonomi makro. Sehingga pada akhirnya akan membantu untuk menunjang pertumbuhan perekonomian bangsa melalui pemecahan masalah ekonomi dan bisnis melalui model matematika, terutama dengan penerapan atau penggunaan fungsi linear.

 

• Matematika ekonomi akan memberikan pemahaman bahwa matematika ekonomi dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menganalisis model-model ekonomi terutama masalah perekonomian yang sedang dihadapi pada saat ini.
  Manfaat dan Kegunaan dari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
  1. Memberikan pengetahuan, wawasan dan kemampuan dalam memanfaatkan teori atau konsep matematika dalam analisis ekonomi, terutama dalam masalah maksimisasi,minimisasi dan optimisasi
  2. Sebagai penerapan dalam analisis ekonomi
  3. Dapat menggunakan pemahaman fungsi untuk menyelesaikan persoalan dalam bisnis dan ekonomi
  4. Memudahkan dalam menghitung indikator dan prediksi ekonomi

Tujuan mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :

1. Mencirikan dan menggambarkan bentuk fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang/ jasa dan menentukan titik keseimbangan pasar yang terjadi
2. Menghitung besarnya pajak yang ditetapkan terhadap suatu barang/jasa
3. Menuliskan dan menggambarkan grafik dari fungsi permintaan/penawaran serta titik keseimbangan pasar yang baru akibat kena pajak
4. Menghitung besarnya subsidi yang ditetapkan terhadap suatu barang/jasa
5. Menuliskan dan menggambarkan grafik dari fungsi permintaan/penawaran serta titik keseimbangan pasar yang baru akibat adanya subsidi
6. Menghitung besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang/jasa

Fungsi dari mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :

1. Memberikan pemahaman tentang matematika sebagai alat bantu menganalisis model-model ekonomi
2. Sebagai rencana bisnis dan pembangunan untuk skala menengah dan skala kecil
3. Mengelola dan menilai rencana bisnis dengan tepat
4. Menyusun alternatif sasaran sehingga memudahkan dalam perhitungannya

 

Soal Tentang Bangun Ruang

1.  Sebuah kubus mempuyai panjang rusuk 6 cm. Dibagian atas kubus terdapat lubang

berbentuk kubus dengan panjang 2 cm. Maka luas permukaan kubus besar adalah….

a. 212 cm2

b. 216 cm2

c. 222 cm2

d. 232 cm2

Jawaban: A

 

2.  Seseorang ingin membuat kotak tempat pulpen tanpa tutup dari karton, kemudian akan

dilapisi dengan kertas kado, bila ukuran kotak tersebut 6 cm x 4 cm x 10 cm.

Luas kertas kado yang dibutuhkan adalah….

a.224 cm2             b.240 cm2              c. 248 cm2               d. 480 cm2

Jawaban: A

 

3.  Sebuah bak kamar mandi berukuran panjang 100 cm, lebar 75 cm, dan tinggi 50 cm, bila

dipermukaan bagian dalam akan dipasang tegel dengan ukuran 20 cm x 20 cm ,

maka banyak tegel yang diperlukan adalah…

a. 62 tegel

b.63 tegel

c. 120 tegel

d. 240 tegel

Jawaban: B

 

4.  Jeligen minyak goreng berbentuk balok dengan ukuran 50 cm x 50 cm x 25 cm,

minyak goreng tersebut akan dikemas dengan ukuran 2 liter kemasan.

Maka banyak sisa minyak dalam liter adalah….

a. 0,25 liter

b. 2,5 liter

c. 25 liter

d. 250 liter

Jawaban: A

 

5.  Sebuah tempat air berbentuk balok mempunyai volume 20 liter, bila luas alas balok tersebut

200 cm, maka tinggi balok tersebut adalah….

a. 10 cm

b. 100 cm

c. 1.000 cm

d. 10.000 cm

Jawaban: B

Matematika Moderen

Matematika modern atau matematika baru

Istilah Matematika modern merupakan terjemahan dari bahasa inggris “Modern Mathematics”. Di Amerika Serikat “Modern Mathematics” itu dikenal juga dengan nama “ New Mathematics” yang bila diterjemahkan menjadi “Matematika Baru”. Istilah mana yang akan diambil, Matematika Modern atau Matematika baru, terserah kepada kita. Baik istilah Matematika modern maupun Matematika baru sama saja. Kami mengambil istilah Matematika modern karena istilah ini bagi kita lebih dikenal.

Marilah kita lihat beberapa masalah yang akan menunjukan bahwa istilah itu bias diambil matematika Modern atau matematika baru.

Pertama, masalah topik-topik baru. Dalam Matematika modern untuk Sekolah Dasar dan Sekolah Menengah terdapat topik-topik baru yang pada Matematika tradisionilnya tidak ada atau kurang mendapat penekanan. Misalnya, sistim bilangan, sistim numerasi selain sistim Hindu Arab, himpunan dan lain-lain. Topik-topik itu merupakan topik-topik baru di Sekolah Dasar atau Sekolah Menengah. Sehingga memungkunkan orang mengambil kesimpulan bahwa Matematika yang diberikan itu ialah Matematika baru. Tetapi dalam Matematika sendiri sebagai ilmu topik-topik itu bukan merupakan topik-topik baru karena sudah lama diketemukan. Jadi kurang tepat bila istilah yang dipakai itu Matematika baru.

Kedua, masalah metodologi. Metodologi mengajar yang modern, dimana kita harus memeperhatikan minat murid, kemampuan murid, metode menemukan sendiri, dan lain-lain. Sebenarnya tidak merupakan metode yang baru lagi, sebab maslah ini sudah lama dipikirkan para ahli. Aplikasinya dalam mengajarkan Matematika memang lebih kemudian. Sehingga metodologi semacam itu dalam Matematika bias disebut metode baru atau metode modern.

Ketiga, dilihat ari konsep-konsep baru yang terdapat dalam Matematika modern istilah Matematika baru (New Mathematics) lebih cocok dari istilah Matematika modern.

Alat Peraga Domino

Kartu Permainan Domino

Penggunaan alat peraga kartu permainan domino ini biasa digunakan untuk menerampilkan penguasaan siswa terhadap materi logaritma.

Contoh pembuatan kartu permainan domino adalah sebagai berikut :

Selanjutnya cara menggunakan / aturan main kartu domino tersebut adalah :

• permainan dimainkan oleh 2, 3 atau 4 orang
• kartu dikocok, kemudian dibagikan habis kepada semua pemain
• jika ada 3 pemain, maka kartu yang tersisa diletakkan terbuka ditengah sebagai patokan memulai permainan
• secara bergiliran pemain meletakkan kartu sesuai dengan kartu yang ada. contoh :

• Jika pemain tidak dapat “jalan” maka ia kehilangan gilirannya
• permainan berakhir apabila sudah ada salah satu pemain yang kartunya habis, atau semua pemain tidak dapat melanjutkan memasang kartu yang masih dipegangnya.
• pemenang adalah pemain yang kartunya paling dulu habis atau sisa paling sedikit.

Pengertian Alat Peraga

Belajar Matematika dengan Alat Peraga

Belajar matematika selalu dipandang sebagai sesuatu yang menakutkan dalam suatu pembelajaran. Itu dikarenakan dalam suatu pembelajaran matematika selalu berkecimpung pada sesuatu yang abstrak.

Sekarang kita lanjut pada pembahasannya. Apa itu alat peraga? Disini akan dibahas satu persatu secara detail.

1. Alat peraga

a. Pengertian alat peraga

Menurut Estiningsih (1994) alat peraga merupakan media pembelajaran yang mengandung atau membawakan cirri-ciri dari konsep yang dipelajari.

b. Fungsi alat peraga

Fungsi utama dari alat peraga adalah untuk menurunkan keabstrakan dari konsep, agar siswa mampu menangkap arti sebenarnya konsep tersebut. Dengan melihat, meraba, dan memanipulasi obyek/alat peraga maka siswa mempunyai pengalaman-pengalaman dalam kehidupan sehari-hari tentang ati dari suatu konsep. Berikut ini diberikan beberapa contoh dari alat peraga.

1. Papan tulis, buku tulis, dan daun pintu yang berbentuk persegi panjang dapat berfungsi sebagai alat peraga pada saat guru menerangkan sub bab bangun geometridatar persegi panjang.
2. Pensil, kapur, lidi, biji-bijian dapat berfungsi sebagai alat peraga pada saat memperkenalkan bilangan kepada siswa, dengan cara membilang banyaknya anggota dari kelompok benda, sehingga pada akhir membilang akan ditemukan bilangan yang sesuai dengan kelompok benda tersebut.

2. Sarana
   1. Pengertian dan fungsi sarana

Sarana juga merupakan media pembelajaran yang fungsi utamanya sebagai alat Bantu untuk melakukan kegiatan belajar mengajar. Dengan menggunakan sarana tersebut diharapkan dapat memperlancar kegiatan belajar mengajar. Contoh media pembelajaran yang berupa sarana adalah : papan tulis, penggaris, jangka, klinometer, timbangan, LK(Lembar Kerja), LT ( Lembar Tugas ) dan alat-alat permainan.

Alat Peraga Timbangan Bilangan

Timbangan Bilangan

Suatu alat yang digunakan untuk memperagakan oprasi aljabar pada bilanagan asli  khususnya untuk siswa SD.

Alat dan bahan :

a.       Alat – alat :

1.      Mesin Sugu

2.      Palu

3.      Amplas

4.      Bor

5.      Gergaji

6.      Meteran

7.      Tatah

b.      Bahan – bahan :

1.      Balok kayu

2.      Papan

3.      Baut

4.      Cat

5.      Besi

6.      Kertas

7.      Lem kertas

Cara Pembuatan Timbangan Bilangan :

1.      Potong papan dengan panjang 70 cm dan lebar 4,5 cm, kemudian panjang papan dibagi menjadi dua bagian yang sama, lalu masing – masing bagian diberi angka 1-10 (bilangan asli sesuai ukuran panjang papan) dengan jarak yang sama.( sebagai mistar timbangan).

2.      Balok kayu dengan ukuran 73 cm dipotong menjadi dua bagian potongan yang pertama berukuran 35 cm digunakan sebagai tiang timbangan. Kemudian potonngan kayu yang kedua berukuran 38 cm dijadikan sebagai alas dari timbangan.

3.      Gabungkan tiang dengan alas timbangan .Untuk lebih jelasnnya lihat gambar dibawah ini :

4.      Kemudian mistar timbangan dengan tiang timbangan yang sudah jadi di gabungkan sehingga menjadi timbangan bilangan.

5.      Untuk anak  timbangan dibuat dari balok kayu yang dipotong – potong berukuran lebar 2 cm dan panjang 4 cm setelah itu disisi atas dan bawah diberi pengait dari besi.

Fungsi alat peraga : untuk operasi aljabar yaitu  dalam memperagakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan asli.

Cara kerja:

A.    Memperagakan Operasi Penjumlahan
Misal, 3 + 5 = …..

1.       Gantungkan sebuah anak timbangan di angka 3 pada lengan sebelah kiri.

2.      Gantungkan lagi sebuah anak timbangan di angka 5 pada lengan sebelah kiri.

3.      Untuk menunjukkan hasil pen-jumlahan 3 + 5, dapat dicoba menggantungkan sebuah anak timbangan pada lengan sebelah kanan sampai kedua lengan timbangan setimbang. Ternyata setelah anak timbangan digantungkan diangka 8 pada lengan sebelah kanan, maka timbangan akan setimbang. Sehingga kesim-pulannya  3 + 5 = 8.

B.   Memperagakan Operasi Pengurangan

Misal, 9 – 3 =……

1. Untuk  menunjukkan  hasil  pengurangan 9 – 3, dapat dicoba dengan menggantungkan sebuah anak timbangan di angka 9 pada lengan sebelah kanan.

2. Selanjutnya gantungkan sebuah anak timbangan di angka 3 pada lengan sebelah kiri.

3. Lalu dengan mencoba-coba, gantungkan sebuah anak timbangan pada lengan sebelah kiri sampai kedua lengan timbangan setimbang. Ternyata setelah anak timbangan digantungkan di angka 6 pada lengan sebelah kiri, maka timbangan akan setimbang. Kesimpulan : 9 – 3 = 6

C.    Memperagakan Operasi Perkalian
Misal, 2 x 3 =……..

1.      Gantungkan 3 buah anak timbangan di angka 2 pada lengan sebelah kiri.

2.      Untuk menunjukkan hasil perkalian 2 x 3, dapat dicoba dengan meng-gantungkan sebuah anak timbangan pada lengan sebelah kanan sampai kedua lengan timbangan setimbang. Ternyata setelah anak timbangan digantungkan di angka 6 pada lengan sebelah kanan timbangan akan setimbang. Kesimpulannya : 2 x 3 = 6

D.  Memperagakan Operasi Pembagian

Misal, 8 : 2 = ….

1.      Gantungkan sebuah anak timbangan di angka 8 pada lengan sebelah  kanan.

2.      Untuk menunjukkan hasil pem-bagian 8 : 2, dapat dicoba menggantungkan 2 buah anak timbangan sekaligus pada lengan sebelah kiri sampai kedua lengan timbangan setimbang. Ternyata setelah kedua anak timbangan digantungkan diangka 4 pada lengan sebelah kiri, maka timbangan akan setimbang. Kesimpulannya : 8 : 2 = 4

Pengertian Matematika

Pengertian Matematika

Secara etimologi,  matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathemata yang berarti “belajar atau hal yang dipelajari” (things that are learned). Dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Matematika adalah ilmu yang tidak jauh dari realitas kehidupan manusia. Proses pembentukan dan pengembangan ilmu matematika tersebut sejak jaman purba hingga sekarang tidak pernah berhenti. Sepanjang sejarah matematika dengan segala perkembangan dan pengalaman langsung berinteraksi dengan matematika membuat pengertian orang tentang matematika terus berkembang.

Berikut ini adalah pengertian matematika yang disampaikan oleh para ahli:

• Pengertian Matematika Menurut Riedesel: Matematika adalah kumpulan kebenaran dan aturan, matematika bukanlah sekedar berhitung. Matematika merupakan sebuah bahasa, kegiatan pembangkitan masalah dan pemecahan masalah, kegiatan menemukan dan mempelajari pola serta hubungan.
• Pengertian Matematika Menurut Prof. Dr. Andi Hakim Nasution: matematika adalah ilmu struktur, urutan (order), dan hubungan yang meliputi dasar-dasar perhitungan, pengukuran, dan penggambaran bentuk objek.
• Pengertian Matematika Menurut Susilo: Matematika bukanlah bukanlah sekedar kumpulan angka, simbol, dan rumus yang tidak ada kaitannya dengan dunia nyata. Justru sebaliknya, matematika tumbuh dan berakar dari dunia nyata.
• Pengertian Matematika Menurut Yansen Marpaung: Matematika adalah ilmu yang dalam perkembangannya penggunaanya menganut metode deduksi.
• Pengertian Matematika Menurut Suwarsono: Matematika adalah ilmu yang memiliki sifat khas yaitu; objek bersifat abstrak, menggunakan lambang-lambang yang tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, dan proses berpikir yang dibatasi oleh aturan-aturan yang ketat.